Differentialgeometrie I [Lecture notes] by Dirk Ferus

By Dirk Ferus

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Comprises complete bookmarked desk of contents and numbered pages. this is often an development of a replica to be had in the course of the Library Genesis undertaking. the actual Stillwell translation is dated July 31, 2009.

John Stillwell used to be the recipient of the Chauvenet Prize for Mathematical Exposition in 2005. The papers during this e-book chronicle Henri Poincaré's trip in algebraic topology among 1892 and 1904, from his discovery of the basic staff to his formula of the Poincaré conjecture. For the 1st time in English translation, it is easy to persist with each step (and occasional stumble) alongside the way in which, with assistance from translator John Stillwell's creation and editorial reviews. Now that the Poincaré conjecture has eventually been proved, through Grigory Perelman, it sort of feels well timed to assemble the papers that shape the historical past to this recognized conjecture. Poincaré's papers are actually the 1st draft of algebraic topology, introducing its major material (manifolds) and uncomplicated ideas (homotopy and homology). All mathematicians attracted to topology and its heritage will take pleasure in this publication. This quantity is one in all an off-the-cuff series of works in the historical past of arithmetic sequence. Volumes during this subset, "Sources", are classical mathematical works that served as cornerstones for contemporary mathematical inspiration.

Tel Aviv topology conference: Rothenberg Festschrif, 1998

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Jetzt in der achten Auflage, behandelt dieses bewährte Lehrbuch die Aspekte der mengentheoretischen Topologie, die jeder Mathematikstudent in mittleren Semestern kennen sollte. "Das erklärte Ziel des Autors conflict es, von der mengentheoretischen Topologie in leicht faßlicher und anregender shape 'gerade so viel zu bringen, wie ein Mathematikstudent beherrschen sollte.

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Dann gilt weiter: (ii) τg = τ (iii) Die Schmiegebene von c ist tangential: Spann(c , c ) = dγ f (Tγ M ). (iv) (Beltrami-Enneper) F¨ ur die Gaußsche Kr¨ ummung K von (M, f, ξ) und die Torsion von c gilt K ◦ γ = −τ 2 . Beweis. (i) Ist bereits bekannt. Zu (ii). Es ist c = κg Jc + κ⊥ ξ ◦ γ = κg Jc (43) Daher ist F = (c , Jc , ξ ◦ γ) der Frenetrahmen von c, wo τ= 2 = ±1, und < (Jc ) , ξ ◦ γ >= τg . Zu (iii). Folgt unmittelbar aus c = κg Jc . Zu (iv). Weil (γ , Jγ ) eine ON-Basis ist, ist K = det A = < Aγ , γ > < AJγ , Jγ > − < Aγ , Jγ >2 .

Wir betrachten drei Fl¨ achen, die sich paarweise orthogonal in einem Punkt schneiden. Durch den gemeinsamen Schnittpunkt erh¨alt man drei Kurven. Je zwei derselben liegen in einer Fl¨ ache, jede von ihnen liegt in zwei Fl¨achen und hat in beiden dieselbe geod¨ atische Torsion (Satz von Joachimsthal). Seien τg,i , i = 1, 2, 3 die geod¨ atischen Torsionen der drei Kurven im gemeinsamen Schnittpunkt. Dann ist nach obigem: τg,1 + τg,2 =0 τg,2 + τg,3 =0 τg,1 + τg,3 =0, (44) (45) (46) also τg,i = f¨ ur alle i.

Nach (1) ist daher A ∂t ∂t = 0. Bei einer Regelfl¨ ache lassen sich c und v auf verschiedene Weise ver¨andern, ohne daß sich die Bildmenge ¨ andert, vorausgesetzt, man paßt die Laufbereiche der Parameter an. Zun¨ achst liefert eine Umparametrisierung c → c ◦ h bei gleichzeitiger Substitution v → v ◦ h offenbar geometrisch dieselbe Fl¨ache. Weiter kann man v in seiner L¨ange ver¨ andern. Schließlich kann man c durch eine Kurve c˜(s) = c(s) + a(s)v(s) mit einer reellen Funktion a ersetzen. F¨ ur das Hyperboloid bietet sich zum Beispiel die Taille“ (Striktionslinie) als nat¨ urliches c an.

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